財布の中の一円玉と５円玉はどれくらいある？

財布の中の１円玉と５円玉はどれくらいある？

前提

買い物の下一桁(0～9)の確率は等しい(各1/10)。

財布の中の１円玉と５円玉の合計が最も少なくなるように払う。

１円玉と５円玉の枚数が最も少なくなるように払う。

例）

１円3枚＋５円0枚が財布にあり、買い物の下一桁が6円の場合、1円玉1枚出して5円玉で釣りを貰い、１円2枚＋５円1枚が財布に残る。

１円玉と５円玉の合計が買い物の下一桁に足りない場合、財布の中の１円玉と５円玉は使わない。

例）

１円3枚＋５円0枚が財布にあり、買い物の下一桁が6円の場合、4円釣りを貰い、１円7枚＋５円0枚が財布に残る。

前提より１円玉と５円玉の合計は9円以下であり、常に枚数を少なくするので１円玉の合計が5枚以上になることがない。

よって１円玉と５円玉の組み合わせはTable.A.1の通り。

Table.A.1

合計がn円である確率を、買い物の下一桁がn円である確率をとする。

前提よりである。買い物後に合計がk円となるは

　…eq.A.1

ここでlはk, mに対して一意に決まる（例えばk=1, m=6の場合、l=5）。

は一定であり、であるので、

　…eq.A.2

となる。よって財布の中の内訳、確率、期待値はTable.A.2の通り。

Table.A.2

前提より１円玉と５円玉の合計は9円以下である。１円玉と５円玉の組み合わせはTable.B.1の通り。

Table.B.1

財布の中の１円玉と５円玉の合計が5円～9円の場合に、5円玉を含む場合と含まない場合に分かれる。

しかし前提より財布の中の１円玉と５円玉の合計が最も少なくなるように払うため、直前の合計と直後の合計の関係は条件Aと同じである。

すなわち合計がn円となり、全て1円玉で持つ確率を、5円玉を含む確率をとすると

, …eq.B.1

となる。

は直前の内訳との関係より以下を満たす。

　…eq.B.2

　…eq.B.3

　…eq.B.4

　…eq.B.5

　…eq.B.6

前提より、からまでは条件Aと同様にであり、eq.B.2からeq.B.6の連立式を解くと

　…eq.B.7

となる。またeq.B.1より

　…eq.B.8

よって財布の中の内訳、確率、期待値はTable.B.2の通り。

Table.B.2